Correction - Théorie de la Lune

Le mouvement de la Lune dans le ciel est éminement complexe, et elle est loin de suivre une orbite keplerienne autour de la Terre. Cette complexité réside dans le fait que le corps perturbateur (le Soleil) possède une très grande masse $$\frac{m_{\odot}}{m_{\oplus}}=3.10^{5}$$ que son éloignement ne compense que très partiellement. La complexité du problème est renforcée par la proximité de la Lune qui nous permet d'obtenir des résultats expérimentaux très précis, que la théorie doit vérifier ... La théorie du mouvement lunaire est un problème central et récurrent de la mécanique céleste, elle est principalement l'oeuvre de cinq grands esprits : Euler (1707-1783), Clairaut(1713-1765), d'Alembert(1717-1783), Lagrange(1713-1765) et Laplace(1749-1827). La théorie planétaire de Lagrange permit enfin à Delaunay vers 1860 d'introduire les raffinements que nous avons évoqués plus haut. Le mouvement keplerien de la lune le plus en adéquation avec les observations est très grossièrement une ellipse d'excentricité$e\approx1/18.2$ de foyer la Terre, d'inclinaison $i=5{{}^{\circ}}8^{\prime}$ par rapport à l'écliptique. La masse de la lune est d'environ$m_{L}=7,3.10^{22}Kg$ , celle de la terre étant $m_{\oplus}=6.10^{24}Kg$ on a $$\frac{m_{\oplus}}{m_{L}}=81.4$$ En se plaçant dans le référentiel centré sur la Terre, en appellant $\mathbf{r}$ le vecteur Terre-Lune et $\mathbf{r}^{\prime}$ le vecteur Terre-Soleil (cf. figure 1 )
la mise en forme du problème à $N$ corps de la section précédente (équation $\left( \ref{intermedi}\right)$) nous donne ici (en prennant tour à tour le Soleil et la Lune pour corps 1)
$$%%\begin{array}[c]{l}%%\dfrac{d^{2}\mathbf{r}^{\prime}}{d......rt \mathbf{r}^{\prime}\right\vert ^{3}}\right)\end{array}$$ dans la première de ces équations, le terme perturbateur est complèment négligeable à cause de la faible masse de la Lune. Nous pouvons donc considérer que la trajectoire du Soleil autour de la Terre est une ellipse keplerienne. La deuxième équation est celle que nous allons étudier, elle peut s'écrire (cf. section précédente) $$\dfrac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=-G\left( m_{\oplus}+m_{L}\right)......ert \mathbf{r}\right\vert ^{3}}+\mathrm{grad}_{\mathbf{r}%%}\left( R\right)$$ avec $$R=Gm_{\odot}\left( \frac{1}{\left\vert \mathbf{r}^{\prime}-\mathb......^{\prime}\mathbf{.r}}{\left\vert \mathbf{r}^{\prime}\right\vert^{3}}\right)$$ Ecrivons à présent $R$ en fonction des éléments osculateurs. La distance Lune-Soleil $\left\vert \mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}%%\right\vert$ s'écrit $$\left\vert \mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right\vert =\rho=\sqrt{......=r^{\prime}\sqrt{1-2\frac{r}{r^{\prime}}\cos\psi+\frac{r^{2}}{r^{\prime2}}}$$ en moyenne on observe $r^{\prime}=391r$, nous supposerons donc $r\llr^{\prime}$ ainsi en utilisant un développement limité on peut obtenir $$%%\begin{array}[c]{cl}%%\dfrac{r^{\prime}}{\rho}\approx &......ft( \dfrac{r}{r^{\prime}%%}\right) ^{5}\right)\end{array}$$ comme de plus $$\frac{\mathbf{r}^{\prime}\mathbf{.r}}{\left\vert \mathbf{r}^{\prime}\right\vert^{3}}=\frac{1}{r^{\prime}}\frac{r}{r^{\prime}}\cos\psi$$ la fonction perturbatrice s'écrit à l'ordre 2 en $r/r^{\prime}$ sous la forme $$R=\frac{Gm_{\odot}}{r^{\prime}}\left( 1+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{r}{r^{\prime}}\right) ^{2}\left( 3\cos^{2}\psi-1\right) \right)$$ les travaux cités en préambule et notamment ceux de Delaunay, interviennent alors à ce niveau, ils consistent à exprimer $\psi,r$ et$r^{\prime}$ en fonction des éléments osculateurs de la Lune autour de la Terre $\left\{ a,e,i,\omega,\Omega,\tau\right\}$ et du Soleil autour de la Terre $\left\{ a^{\prime},e^{\prime},i^{\prime},\omega^{\prime}%%,\Omega^{\prime},\tau^{\prime}\right\}$ amateurs de trigonométrie ne pas s'abstenir... Une partie de ces calculs est présentée dans l'excellent ouvrage [#!pascoli!#]. Après de longs calculs on trouve que la fonction perturbatrice se sépare en une partie séculaire $\overline{R}$ (non périodique) et une partie périodique $\widetilde{R}$ (dépendant des éléments osculateurs à travers les fonctions $\sin$ et $\cos$). La partie périodique est souvent oubliée car elle ne modifie pas de manière profonde la trajectoire, la partie séculaire s'exprime quant à elle de la façon suivante $$\overline{R}=\frac{n^{\prime2}a^{2}}{4}\left( 1+\frac{3}{2}e^{2}-\frac{3}%%{2}i^{2}\right)$$ avec $n^{\prime2}=G\left( m_{\odot}+m_{\oplus}\right) /a^{\prime3}%%=2\pi/T_{\odot\text{ }}$on constate immédiatement que $\overline{R}$ ne dépend pas de $\Omega,\omega$ ni $\tau$. Les équations planétaires de Lagrange donnent donc $$\left( \frac{d\overline{a}}{dt}\right) =\left( \frac{d\overline{e}}%%{dt}\right) =\left( \frac{d\overline{i}}{dt}\right) =0$$ ainsi le demi grand axe $a$, l'excentricité $e$ et l'inclinaison $i$ de l'orbite lunaire autour de la Terre ne varie donc ici que périodiquement. Pour la variation séculaire de la longitude du noeud ascendant, nous avons $$\frac{d\overline{\Omega}}{dt}=\left( \dfrac{1}{na^{2}\sqrt{1-e^{2......tial i}=-\frac{3n^{\prime2}}%%{4n}\frac{1}{\sqrt{1-e^{2}}}\dfrac{i}{\sin i}$$ en supposant que les variations périodiques sont négligeables nous obtenons donc $$\frac{d\overline{\Omega}}{dt}=cste\Longleftrightarrow\overline{\Omega}=\alphat+\beta$$ la longitude du noeud ascendant lunaire précesse ainsi à vitesse constante. Pour la variation séculaire de l'argument du périgée, nous avons $$\frac{d\overline{\omega}}{dt}=\left( \dfrac{\sqrt{1-e^{2}}}{na^{2......\frac{n^{\prime2}}%%{n}\left( \frac{1-e^{2}+i\cot i}{\sqrt{1-e^{2}}}\right)$$ en supposant que les variations périodiques sont négligeables nous obtenons donc $$\frac{d\overline{\omega}}{dt}=cste\Longleftrightarrow\overline{\omega}=\gammat+\delta$$ et l'argument du périgée lunaire précesse donc à vitesse constante. En prennant les valeurs numériques suivantes : inclinaison du plan orbital lunaire $i=5{{}^{\circ}}8^{\prime}43^{\prime\prime}$, excentricité de l'orbite lunaire $e=1/18,21$, $m_{L}=7,3.10^{22}$Kg , $m_{\oplus}%%=6.10^{24}$Kg, $m_{\odot}=1,2.10^{30}$Kg période moyenne de la lune$T_{L}=27$j $7$h $43^{\prime}11,5$s et période moyenne du soleil$T_{\odot}=365$j $6$h $9^{\prime}34,7$s, on en déduit les moyens mouvements lunaire $n=47434,89$ seconde d'arc par jour et solaire $n^{\prime}=3548,19$ seconde d'arc par jour, desquels on déduit $$\alpha=-199,61$$ seconde d'arc par jour   et$$\qquad\gamma=397,57$$ seconde d'arc par jour$$$$ la ligne des noeuds lunaire rétrograde donc sur l'écliptique avec une période de $360{{}^{\circ}}/\alpha=17$ ans et $287$ jours (alors que la valeur observée est de $17$ ans et $292$ jours), le périgée lunaire fait quant à lui un tour tous les $360{{}^{\circ}}/\gamma=8$ ans et $339$ jours (alors que la valeur observée est environ le double !). Ces effets sont visibles sur la figure 2 pour les lecteurs dotés d'une vision dans l'espace.

Références
G. Pascoli, Eléments de mécanique céleste, Armand Colin, 1993
P.Bretagnon, P. Rocher, J.L.\Simon, Theory of the rotation of the rigid earth, Astronomy \&Astrophysics, 1981